УНИТАРНАЯ ГРУППА

относительно формы f - группа Un( К, f) всех линейных преобразований УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №1 n-мерного правого линейного пространства Vнад телом К, сохраняющих фиксированную невырожденную полуторалинейную (относительно инволюции J тела К)форму f на V, т. е. таких УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №2 что

УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №3

У. г. принадлежит к числу классических групп. Частными случаями У. г. являются симплектическая группа (в этом случае К - поле, J=1и f - знакопеременная билинейная форма) и ортогональная группа( К - поле, char УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №4 J=1, f - симметрическая билинейная форма). Далее, пусть УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №5 и f обладает свойством (Т)(см. Витта теорема). Умножая f на подходящий скаляр, можно, не меняя У. г., добиться того, чтобы f стала эрмитовой формой, а меняя, сверх того, J,- чтобы f стала косоэрмитовой формой.
Если исключить случай n=2, УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №6 то всякий элемент У. г. U п( К, f) является произведением не более чем п+l квазиотражении (т. е. преобразований, оставляющих на месте все элементы какой-либо неизотропной гиперплоскости в V). Центр Zn У. г. Un(K, f) состоит из всех гомотетий пространства Vвида УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №7
Пусть v - индекс Витта формы f. Если УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №8 то удобно считать f косоэрмитовой.Пусть Т п( К, f) - нормальный делитель в Un(K, f), порожденный унитарными сдвигами, т. е. линейными преобразованиями вида УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №9 где а - изотропный вектор пространства V, а УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №10 Центром группы Т п( К, f) является группа УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №11УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №12 Факторгруппа Т п( К, f)/Wn проста при УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №13 если УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №14 или УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №15 Строение факторгруппы Un(K,f)/ Т п( К, f) описывается следующим образом. Пусть УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №16 - подгруппа мультипликативной группы К* тела К, порожденная УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №17 а УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №18- подгруппа в К*, порожденная элементами УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №19 обладающими следующим свойством: в F существует такая гиперболическая плоскость (т. е. двумерное неизотропное подпространство, содержащее изотропный вектор), что УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №20 для нек-рого вектора УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №21 ортогонального к указанной плоскости. Эти подгруппы являются нормальными в К*. Пусть УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №22 - подгруппа в К*, порожденная коммутаторами УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №23УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №24 Если исключить случай n= 3, УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №25 то Un(K, f)/ Т п( К, f) при УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №26 изоморфна УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №27
Группа Т п( К, f) во многих случаях совпадает с коммутантом У. г. Т п( К, f): это верно, напр., если УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №28 Если Ккоммутативно и УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №29 то Т п( К, f) совпадает с нормальной подгруппой УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №30 состоящей из тех элементов, определитель Дьёдонне к-рых равен 1 (за исключением случая n=3, УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №31 Соотношения между УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №32 и УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №33 исследованы также в случае, когда тело Кимеет конечную размерность над своим центром [1].
Пусть теперь v=0. Тогда многие из указанных результатов неверны (имеются примеры У. г., обладающих бесконечным рядом нормальных делителей с абелевыми факторами, примеры У. г., для к-рых n=2и УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №34 не совпадает со своим коммутантом и т. п.). Наиболее изученными являются случаи локально компактного поля характеристики УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №35 и поля алгебраич. чисел.
Один из основных результатов об автоморфизмах У. г. состоит в следующем (см. [1]): если char УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №36 a УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №37 то всякий автоморфизм У. г. Т п( К, f) имеет вид УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №38 где УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №39- гомоморфизм Т п( К, f) в со центр Zn, a g - унитарное полуподобие пространства V(т. е. биективное полулинейное отображение УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №40 удовлетворяющее условию УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №41 где УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №42 а УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №43 - автоморфизм K, связанный с g). Если nчетно, УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №44 К - поле характеристики УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №45 и УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №46 то всякий автоморфизм группы УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №47 индуцируется автоморфизмом группы Т п( К, f).
Если УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №48 - автоморфизм комплексного сопряжения и эрмитова форма f положительно определена, то У. г. Т п( К, f )обозначается через Un;она является компактной вещественной связной группой Ли и часто наз. просто У. г. В случае неопределенной формы / группу УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №49 часто наз. псевдоунитарной. С помощью выбора в Vбазиса Un отождествляется с группой всех унитарных матриц. Группа УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №50УНИТАРНАЯ ГРУППА фото №51 в этом случае наз. специальной унитарной группой и обозначается через SUn.

Лит.:[1] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Автоморфизмы классических групп, сб. пер. с англ. и франц.. М., 1976; [4] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [5] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар лСофус Ли

Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»

УНИТАРНАЯ МАТРИЦА →← УНИРАЦИОНАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ

Смотреть что такое УНИТАРНАЯ ГРУППА в других словарях:

УНИТАРНАЯ ГРУППА

матем. gruppo unitario

УНИТАРНАЯ ГРУППА

уніта́рна гру́па

T: 217